Unidad 8 · Forma estándar y método simplex

Qué vas a poder hacer. Llevar un modelo lineal a forma estándar, encontrar sus soluciones básicas y distinguir las que son vértices, resolverlo con el simplex en tabla (elegir la variable que entra, aplicar la razón mínima, pivotear) y leer en la tabla final la solución, los precios sombra y los costos reducidos.

Lo que necesitas antes. De la unidad 2, que el óptimo de un modelo lineal está en un vértice. De álgebra lineal, resolver un sistema de ecuaciones y la inversa de una matriz. De la unidad 7, qué significan .dual, .slack y .reducedCost: acá vas a ver de dónde salen.

Tiempo. Unas 6 horas: 2,5 de lectura con lápiz y papel y 3,5 de práctica.

1. La idea

Con dos variables el óptimo se ve en el gráfico. Con cincuenta no se ve nada, pero la geometría sigue siendo la misma: la región factible es un poliedro y el óptimo está en un vértice. El método simplex (Dantzig, 1947) recorre vértices con una regla simple:

1. parte de un vértice factible (casi siempre el origen);
2. mira los vértices vecinos y pregunta si moverse a alguno mejora el objetivo;
3. si alguno mejora, se mueve al que mejora más rápido; si ninguno mejora, ese vértice es óptimo.

Como el objetivo es lineal y la región es convexa, un vértice sin vecinos mejores es el óptimo global: no hay mínimos locales que engañen. Todo el trabajo está en hacer esto con álgebra, sin dibujar.

2. Forma estándar

El simplex trabaja con igualdades. La forma estándar de un modelo lineal es

\[\max\; z = c^{T}x \quad \text{s.a.} \quad Ax = b, \qquad x \ge 0, \qquad b \ge 0\]

Cualquier modelo lineal se lleva a esa forma con estas reglas:

Por qué funciona. Una holgura convierte «a lo más 18 horas» en «las horas usadas más las que sobran suman 18»: es la misma condición, porque lo que sobra no puede ser negativo. Una variable libre se puede escribir siempre como diferencia de dos no negativas; en el óptimo, a lo más una de las dos es positiva (ejercicio 8.9).

Cuándo no aplica directo. El simplex de esta unidad arranca con las holguras como base, y eso exige que el origen sea factible: todas las restricciones \(\le\) con lado derecho \(\ge 0\). Si hay restricciones \(\ge\) o \(=\), el origen no sirve de partida y hace falta el método de dos fases o el de la gran M (unidad 9).

3. Soluciones básicas y vértices

En forma estándar hay \(m\) ecuaciones y \(n\) variables, con \(n > m\). Una solución básica se obtiene así: se eligen \(m\) variables (las básicas), se fijan las otras \(n - m\) en cero (las no básicas) y se resuelve el sistema de \(m \times m\) que queda. Si además todas las básicas salen \(\ge 0\), es una solución básica factible, y cada una corresponde a un vértice del poliedro.

• Hay a lo más \(\binom{n}{m}\) soluciones básicas (algunas elecciones dan un sistema sin solución).
• Dos vértices son adyacentes si sus bases difieren en una sola variable: una entra y otra sale. Eso es exactamente lo que hace cada iteración del simplex.

En notación matricial, si \(B\) es la matriz con las columnas de las variables básicas y \(N\) la de las no básicas:

\[B\,x_B + N\,x_N = b \quad\Rightarrow\quad x_B = B^{-1}b - B^{-1}N\,x_N\]

y con \(x_N = 0\), la solución básica es \(x_B = B^{-1}b\). La base es factible si \(B^{-1}b \ge 0\).

4. Costos reducidos: cuándo un vértice es óptimo

Reemplazando \(x_B\) en el objetivo \(z = c_B^{T}x_B + c_N^{T}x_N\):

\[z = c_B^{T}B^{-1}b + \left(c_N^{T} - c_B^{T}B^{-1}N\right)x_N\]

El primer término es el valor del vértice actual. El paréntesis es el vector de costos reducidos \(\bar c_N\): cuánto cambia \(z\) por cada unidad que se aumente una variable no básica, ya descontado lo que hay que mover a las básicas para seguir cumpliendo las restricciones.

• Criterio de optimalidad (máximo). Si ningún costo reducido es positivo, ningún vecino mejora: el vértice es óptimo. En un mínimo, el criterio es que ninguno sea negativo.
• Variable que entra. Si hay costos reducidos positivos, entra la variable con el mayor (en un mínimo, el más negativo). Es la que más sube \(z\) por unidad.
• Variable que sale. Al subir la que entra, \(x_e\), las básicas cambian a razón \(\alpha_e = B^{-1}A_{\cdot e}\). Las que tienen \(\alpha_{ie} > 0\) bajan, y la primera que llega a cero sale de la base. Esa es la prueba de la razón mínima:

\[\text{sale la fila } s \text{ con } \frac{(B^{-1}b)_s}{\alpha_{se}} = \min_{i\,:\,\alpha_{ie} > 0} \frac{(B^{-1}b)_i}{\alpha_{ie}}\]

Las filas con \(\alpha_{ie} \le 0\) no entran a la comparación: esa básica no baja (o sube) cuando \(x_e\) crece, así que nunca limita. Si ninguna fila tiene \(\alpha_{ie} > 0\), \(x_e\) puede crecer sin límite y el problema es no acotado (unidad 9).

Por qué la razón mínima y no otra. Si sale una fila que no es la de razón mínima, la variable que entra sube demasiado y alguna básica queda negativa: se salta a un punto fuera de la región. El ejercicio 8.8 lo muestra.

5. El simplex en tabla

La tabla (o tableau) guarda todo lo anterior en un arreglo que se actualiza con operaciones de fila, sin invertir matrices:

• una fila por restricción, con su variable básica a la izquierda y el lado derecho (LD) a la derecha;
• una fila final con los costos reducidos de todas las variables y, en la columna LD, el valor \(-z\) (por eso la fila se rotula \(-z\)).

El procedimiento, para un máximo con restricciones \(\le\) y \(b \ge 0\):

0. Tabla inicial. Las holguras son las básicas (\(x = 0\), \(s = b\)). La fila \(-z\) tiene los coeficientes \(c_j\) del objetivo, y 0 en las holguras y en LD.
1. ¿Es óptima? Si ningún número de la fila \(-z\) es positivo, sí: se termina.
2. Columna que entra. La del número más positivo de la fila \(-z\).
3. Fila que sale. Para cada fila con coeficiente positivo en esa columna, LD dividido por ese coeficiente; sale la de menor razón. El número en el cruce es el pivote.
4. Pivotear. Se divide la fila pivote por el pivote (queda un 1) y a cada otra fila, incluida la \(-z\), se le resta la fila pivote nueva multiplicada por su número en la columna que entra (quedan ceros):

\[\text{fila}_i^{\text{nueva}} = \text{fila}_i - a_{ie}\cdot \text{fila}_s^{\text{nueva}}\]

5. Volver al paso 1.

En las tablas de esta unidad, el pivote va en negrita y la columna «Razón» muestra la prueba de la razón mínima. Todas las tablas las genera el verificador con fracciones exactas.

6. Leer la tabla final

La tabla óptima trae mucho más que la solución:

Por qué el precio sombra aparece bajo la holgura. La columna de \(s_i\) en la tabla inicial es \(e_i\) (un 1 en la fila \(i\)) y su costo es 0, así que su costo reducido es \(0 - c_B^{T}B^{-1}e_i = -y_i\), donde \(y = c_B^{T}B^{-1}\). Forzar una unidad de holgura es «regalar» una unidad del recurso, y eso cuesta exactamente su precio sombra.

Comprobación rápida. En el óptimo se cumple \(z^* = \sum_i b_i\,y_i\). Es la dualidad fuerte de la unidad 10, y sirve para pillar errores de aritmética.

El simplex matricial hace las mismas cuentas sin la tabla: con la base \(B\) calcula \(x_B = B^{-1}b\), los costos reducidos \(c_N^{T} - c_B^{T}B^{-1}N\) y, si entra \(x_e\), \(\alpha_e = B^{-1}A_{\cdot e}\). La tabla es la versión «a mano» y el matricial es lo que programan los solvers (ejercicio 8.7).

7. Ejemplo resuelto · La pastelería de los viernes

Una pastelería de Concepción prepara los pedidos del viernes: tortas (\(x_1\)), kuchenes (\(x_2\)) y pies de limón (\(x_3\)). Tiene 18 horas de horno y 15 horas de decoración.

Paso 1 · Modelo y forma estándar. En miles de pesos:

\[\max\; z = 8x_1 + 6x_2 + 5x_3 \quad \text{s.a.}\quad 2x_1 + x_2 + 2x_3 + s_1 = 18, \quad x_1 + 2x_2 + x_3 + s_2 = 15, \quad x, s \ge 0\]

\(s_1\) son las horas de horno que sobran y \(s_2\) las de decoración.

Paso 2 · Tabla inicial. Base \(\{s_1, s_2\}\): no se produce nada y \(z = 0\). Los costos reducidos son los márgenes. Entra \(x_1\) (8 es el mayor) y la razón mínima es la del horno: con 18 horas caben 9 tortas, con 15 de decoración cabrían 15. Sale \(s_1\).

Paso 3 · Primera iteración. Se divide la fila de \(s_1\) por 2; se le resta a la de \(s_2\) una vez y a la \(-z\) ocho veces. Ahora se hacen 9 tortas y \(z = 72\). El kuchen todavía tiene costo reducido positivo (2): cada kuchen que entre suma 6, pero obliga a sacar media torta del horno (−4). Entra \(x_2\); la razón mínima es la de la decoración (4 contra 18). Sale \(s_2\).

Paso 4 · Segunda iteración. Ningún número de la fila \(-z\) es positivo: la tabla es óptima.

Paso 5 · Lectura.

Comprobación: \(18 \cdot \tfrac{10}{3} + 15 \cdot \tfrac{4}{3} = 60 + 20 = 80\). Coincide con \(z^*\).

Cómo se lee.

• Los pies no entran, aunque su margen (5) parece razonable: usan 2 horas de horno y 1 de decoración, que en el óptimo «valen» \(2 \cdot \tfrac{10}{3} + 1 \cdot \tfrac{4}{3} = 8\) mil. Dejan 5: pierden 3 mil por pie. Para que entren, su margen tendría que pasar de 8 mil.
• El horno es el recurso más valioso. Si la pastelería puede arrendar un horno por menos de $3.333 la hora, conviene; pagar horas extra de decoración solo conviene bajo $1.333 la hora (dentro del rango que calcula la unidad 12).
• El camino tiene sentido económico. Primero se llena el horno con lo que más deja por unidad (tortas); después se cambia media torta por un kuchen mientras eso convenga, hasta que la decoración también se agota.

8. Errores típicos

9. Práctica

Diez ejercicios: 8.1 a 8.4 básicos, 8.5 a 8.8 intermedios, 8.9 y 8.10 de desafío. Las pautas están en la sección 10. Usa fracciones, no decimales: el simplex a mano se descuadra con redondeos.

8.1 · Forma estándar (básico). Lleva a forma estándar (máximo, igualdades, \(b \ge 0\), todas las variables \(\ge 0\)):

\[\min\; z = 4x_1 - 3x_2 - 2x_3 \quad \text{s.a.}\quad 2x_1 - x_2 + x_3 \ge 5, \quad x_1 + 3x_2 \le 12, \quad x_1 - x_2 + 2x_3 = -4, \quad x_1 \ge 0,\; x_2 \le 0,\; x_3 \text{ libre}\]

Después resuelve los dos modelos con un solver (OPL, Solver o Python) y comprueba que dan el mismo óptimo.

8.2 · Soluciones básicas (básico). Para el sistema

\[x_1 + 2x_2 + x_3 = 8, \qquad 3x_1 + x_2 + x_4 = 9, \qquad x \ge 0\]

calcula las seis soluciones básicas, di cuáles son factibles y dibuja en el plano \((x_1, x_2)\) los vértices que les corresponden. ¿Qué pares de vértices son adyacentes?

8.3 · Una iteración (básico). Para \(\max\; z = 4x_1 + 2x_2 + 5x_3\) con \(x_1 + x_2 + 2x_3 \le 12\), \(2x_1 + x_2 + x_3 \le 14\), \(x_1 + 3x_2 + x_3 \le 15\) y \(x \ge 0\): arma la tabla inicial, di qué variable entra y cuál sale (con la razón mínima) y haz una iteración. ¿La tabla nueva es óptima? Si no, ¿qué variable entraría?

8.4 · Leer una tabla final (básico). Una imprenta decide cuántos miles de afiches (\(x_1\)), folletos (\(x_2\)) y calendarios (\(x_3\)) imprimir, con margen 6, 5 y 4 (miles de pesos por mil) y tres recursos: horas de impresión (10), de corte (18) y de encuadernación (14). Esta es su tabla óptima:

(a) ¿Qué se imprime y cuánto deja? (b) ¿Qué recursos se agotan y cuánto sobra del otro? (c) ¿Cuánto vale una hora más de cada recurso? (d) ¿Cuánto tendría que subir el margen de los calendarios para que convenga imprimirlos? (e) Comprueba \(z^* = \sum_i b_i y_i\).

8.5 · Simplex y gráfico (intermedio). Resuelve con el simplex en tabla \(\max\; z = 5x_1 + 4x_2\) con \(x_1 + x_2 \le 9\), \(3x_1 + x_2 \le 21\), \(x_2 \le 7\) y \(x \ge 0\). Dibuja la región factible y marca el vértice de cada tabla. ¿Por qué el simplex no pasa por \((2; 7)\)?

8.6 · Tres productos, tres iteraciones (intermedio). Una planta de compost mezcla tres productos (en toneladas): \(\max\; z = 7x_1 + 6x_2 + 5x_3\) con \(2x_1 + x_2 + x_3 \le 16\), \(x_1 + 2x_2 + x_3 \le 14\), \(x_2 + 2x_3 \le 10\) y \(x \ge 0\). Resuelve con el simplex en tabla e informa la solución, el valor óptimo y los tres precios sombra.

8.7 · Simplex matricial (intermedio). Con el modelo de 8.3 (holguras \(s_1, s_2, s_3\)): (a) para la base \(\{x_3, s_2, s_3\}\) calcula \(B^{-1}\), \(x_B = B^{-1}b\) y los costos reducidos de las no básicas; ¿es óptima? Si no, ¿qué entra y qué sale? (b) Repite con la base \(\{x_1, x_3, s_3\}\) y muestra que es óptima.

8.8 · Encuentra el error (intermedio). Un estudiante resolvió el modelo de 8.5 y en la primera iteración hizo salir a \(s_1\):

Su tabla dice que no hay costos reducidos positivos y que el óptimo es \(z = 45\). ¿Dónde está el error, cómo se nota en la tabla y qué punto representa en el gráfico?

8.9 · Una variable libre (desafío). Una distribuidora decide \(x_1\), las cajas que despacha, y \(x_2\), el cambio de su inventario (puede subir o bajar, así que \(x_2\) es libre): \(\max\; z = 3x_1 + x_2\) con \(x_1 + x_2 \le 4\), \(x_1 - x_2 \le 8\) y \(x_1 \ge 0\). Reemplaza \(x_2 = x_2' - x_2''\), resuelve con el simplex en tabla y recupera \(x_2\). ¿Qué relación hay entre las columnas de \(x_2'\) y \(x_2''\) en todas las tablas, y por qué nunca son básicas a la vez?

8.10 · La que entra primero no siempre se queda (desafío). Un taller de sublimación produce lotes de tazas (\(x_1\)), termos (\(x_2\)) y cojines (\(x_3\)), con margen 34, 36 y 42 mil pesos por lote, 200 horas de prensa (2, 4 y 3 h por lote) y 180 horas de diseño (3, 2 y 4 h por lote). Resuelve con el simplex en tabla. (a) ¿Qué variable entra primero y está en la solución final? (b) Lee los precios sombra. (c) ¿Desde qué margen por lote conviene producir cojines?

10. Pautas

8.1. Con \(x_2 = -x_2'\) y \(x_3 = x_3' - x_3''\), multiplicando el objetivo por \(-1\) y la igualdad por \(-1\) (su lado derecho era \(-4\)):

\[\max\; w = -4x_1 - 3x_2' + 2x_3' - 2x_3''\]

\[\begin{aligned} 2x_1 + x_2' + x_3' - x_3'' - e_1 &= 5 \\ x_1 - 3x_2' + h_2 &= 12 \\ -x_1 - x_2' - 2x_3' + 2x_3'' &= 4 \\ x_1, x_2', x_3', x_3'', e_1, h_2 &\ge 0 \end{aligned}\]

\(e_1\) es el exceso de la primera restricción y \(h_2\) la holgura de la segunda. Los dos modelos dan el mismo óptimo: \(x_1 = 14/3\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = −13/3\), con \(z^* = 82/3\) (y \(w^* = -82/3\)). Fíjate que \(x_3\) salió negativa: si se hubiera tratado como no negativa, el modelo habría dado otra respuesta.

8.2. Con \((x_1; x_2; x_3; x_4)\):

Cuatro de las seis son factibles: los cuatro vértices del cuadrilátero. Son adyacentes los que difieren en una básica: \((0,0)\) con \((3,0)\) y con \((0,4)\); \((2,3)\) con \((3,0)\) y con \((0,4)\). El origen y \((2,3)\) no son adyacentes: no comparten ninguna básica.

8.3. Tabla inicial: entra \(x_3\) (5 es el mayor) y sale \(s_1\) (razón 6).

Después de pivotear:

\(z = 30\) con \(x_3 = 6\). No es óptima: \(x_1\) tiene costo reducido \(3/2 > 0\). Entraría \(x_1\) y saldría \(s_2\) (razón 16/3). El 8.7 sigue desde aquí.

8.4. (a) 8 mil afiches, 2 mil folletos y ningún calendario: \((8; 2; 0)\), con \(z = 58\) mil pesos. (b) Se agotan impresión y corte (\(s_1 = s_2 = 0\)); sobran 2 horas de encuadernación (\(s_3 = 2\)). (c) Los precios sombra son 4 (impresión), 1 (corte) y 0 (encuadernación), en miles de pesos por hora: el negativo de la fila \(-z\) bajo cada holgura. (d) El costo reducido de \(x_3\) es −3: su margen tendría que subir 3 mil, de 4 a 7. (e) \(10 \cdot 4 + 18 \cdot 1 + 14 \cdot 0 = 58\).

8.5. Entra \(x_1\); la razón mínima es la de \(s_2\) (7 contra 9).

Óptimo \((6; 3)\) con \(z = 42\). El camino es \((0; 0)\) → \((7; 0)\) → \((6; 3)\): dos vértices vecinos por el borde de abajo y el de la derecha. El vértice \((2; 7)\) queda del otro lado de la región: el simplex partió hacia \(x_1\) porque su margen (5) era mayor, y desde ahí el óptimo estaba a un paso.

8.6.

Solución: \(x_1 = 24/5\), \(x_2 = 14/5\), \(x_3 = 18/5\) toneladas, con \(z = 342/5\) (68,4). Los tres recursos se agotan; sus precios sombra son 14/5, 7/5 y 2/5. Comprobación: \(16 \cdot \tfrac{14}{5} + 14 \cdot \tfrac{7}{5} + 10 \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{224 + 98 + 20}{5} = \tfrac{342}{5}\).

8.7. (a) Base \(\{x_3, s_2, s_3\}\): \(B\) tiene las columnas \((2, 1, 1)\), \((0, 1, 0)\) y \((0, 0, 1)\).

\[B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad x_B = B^{-1}b = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}, \qquad z = 30\]

Con \(y = c_B^{T}B^{-1} = (5/2,\, 0,\, 0)\), los costos reducidos son \(\bar c_{x_1} = 4 - 5/2 = 3/2\), \(\bar c_{x_2} = 2 - 5/2 = −1/2\) y \(\bar c_{s_1} = −5/2\). No es óptima: entra \(x_1\) con \(\alpha_1 = B^{-1}A_{\cdot 1} = (1/2,\, 3/2,\, 1/2)\); las razones son 12, 16/3 y 18, y sale \(s_2\). Es la segunda tabla de 8.3. (b) Base \(\{x_1, x_3, s_3\}\):

\[B^{-1} = \begin{pmatrix} -1/3 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & -1/3 & 0 \\ -1/3 & -1/3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad x_B = \begin{pmatrix} 16/3 \\ 10/3 \\ 19/3 \end{pmatrix}, \qquad z = 38\]

Con \(y = (2,\, 1,\, 0)\): \(\bar c_{x_2} = 2 - (2 + 1 + 0) = −1\), \(\bar c_{s_1} = −2\) y \(\bar c_{s_2} = −1\). Ninguno es positivo: es óptima, con \(x_1 = 16/3\), \(x_3 = 10/3\) y sobran 19/3 de la tercera restricción.

8.8. El error está en la prueba de la razón: la menor razón era la de \(s_2\) (21 ÷ 3 = 7), no la de \(s_1\) (9). Al sacar \(s_1\), \(x_1\) subió a 9, más de lo que permite la segunda restricción. Se nota en la tabla siguiente: el LD de la fila de \(s_2\) quedó en −6, y una tabla del simplex nunca tiene un LD negativo (sería una básica negativa). El punto \((9; 0)\) está fuera de la región, porque \(3 \cdot 9 = 27 > 21\), y su «\(z = 45\)» es mayor que el óptimo verdadero (42) justamente porque viola una restricción. La tabla correcta es la segunda de 8.5.

8.9. Con \(x_2 = x_2' - x_2''\) el modelo queda \(\max\; 3x_1 + x_2' - x_2''\) con \(x_1 + x_2' - x_2'' \le 4\) y \(x_1 - x_2' + x_2'' \le 8\).

\(x_1 = 6\), \(x_2'' = 2\) y \(x_2' = 0\), así que x2 = −2 (el inventario baja 2), con z = 16. La columna de \(x_2''\) es siempre la de \(x_2'\) cambiada de signo, porque las operaciones de fila son lineales y partieron así. Por eso las dos no pueden ser básicas juntas: sus columnas son linealmente dependientes, y una base necesita columnas independientes. En la tabla final, \(x_2'\) tiene costo reducido 0 sin ser básica; no es un segundo óptimo, es la misma solución escrita de otra forma.

8.10.

(a) Entran en orden cojines, termos y tazas, y en la última iteración los cojines salen: la solución es \((40; 30; 0)\), con margen 2.440 mil ($2.440.000). El cojín entró primero porque deja más por lote (42), pero usa 7 horas por lote, y a los precios sombra finales esas horas valen más de lo que deja. La regla de Dantzig mira el margen por unidad de la variable que entra, no lo que cuesta en recursos al final: no anticipa la solución, solo garantiza mejorar en cada paso. (b) Precios sombra: 5 mil por hora de prensa y 8 mil por hora de diseño (\(200 \cdot 5 + 180 \cdot 8 = 2.440\)). (c) El costo reducido de los cojines es −5: su margen tendría que llegar a 47 mil por lote (\(3 \cdot 5 + 4 \cdot 8 = 47\)). El verificador resuelve con un margen apenas mayor y los cojines entran.

11. Caso integrador · Estampa Sur, a mano

Este caso sigue a Estampa Sur por todo el ramo. La unidad 2 dibujó la versión de dos productos (poleras básicas y polerones) y encontró el óptimo mirando los vértices; la unidad 7 corrió en OPL la mezcla completa. Acá se resuelve la versión de dos productos a mano, para ver de dónde salen los precios sombra que OPL entrega con .dual.

El modelo. \(x_1\) poleras básicas y \(x_2\) polerones por semana; margen $1.380 y $3.940; 30 horas de estampado (108.000 s) y 18 de planchado (64.800 s); a lo más 830 polerones:

\[\max\; z = 1{.}380\,x_1 + 3{.}940\,x_2 \quad \text{s.a.}\quad 30x_1 + 90x_2 + s_1 = 108{.}000, \quad 20x_1 + 50x_2 + s_2 = 64{.}800, \quad x_2 + s_3 = 830\]

Tabla 0. Entran los polerones (3.940 es el mayor margen) y manda su demanda: la razón 830 es menor que las 1.200 que permitiría el estampado y los 1.296 del planchado.

Tabla 1. Vértice (0; 830), margen $3.270.200. Las poleras todavía suman 1.380 por unidad: entran. El estampado se agota primero (1.110 contra 1.165).

Tabla 2. Vértice (1.110; 830), margen $4.802.000. Ahora el número positivo está bajo \(s_3\), la holgura de la demanda de polerones: conviene dejar de vender polerones hasta su tope. Cada unidad de \(s_3\) (un polerón menos) libera 90 s de estampado, que hacen 3 poleras: \(3 \cdot 1.380 - 3.940 = 200\). Entra \(s_3\) y sale \(s_2\): el planchado pasa a ser el límite.

Tabla 3 (óptima).

Lectura.

Comprobación: \(108{.}000 \cdot \tfrac{98}{3} + 64{.}800 \cdot 20 = 3{.}528{.}000 + 1{.}296{.}000 = 4{.}824{.}000\).

La cadena. El verificador comprueba que el simplex a mano termina en el óptimo y con los precios sombra (32,67 y 20 por segundo) que el script del caso calcula para la unidad 2, y que cada tabla corresponde a uno de sus vértices (CADENA: OK).

Cómo se lee. Con solo dos productos, una hora de planchado vale $72.000, mucho más que los $5.400 de la mezcla completa de la unidad 7. No es contradicción: acá hay 30 horas de estampado en vez de 40 y solo dos productos, así que estampado y planchado aprietan juntos y cada segundo extra se convierte directo en más poleras; en la mezcla completa sobra estampado, la tinta también limita y hay más prendas para reacomodar. El precio sombra depende de todo el modelo, no solo del recurso.

Lo que pasa a las unidades siguientes. La unidad 9 resuelve casos que esta tabla no tuvo (empates en la razón, óptimos múltiples, orígenes no factibles). La unidad 10 parte de la fila \(-z\) final: los números bajo \(s_1\), \(s_2\) y \(s_3\) son, cambiados de signo, la solución del problema dual.

12. Para seguir

En los libros del ramo.

• Winston, Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos (4.ª ed., 2005): el capítulo del algoritmo simplex trae la forma estándar, las soluciones básicas y el simplex en tabla con muchos ejercicios resueltos.
• Hillier y Lieberman, Introducción a la investigación de operaciones (7.ª ed., 2001): el capítulo del método simplex explica la forma algebraica y la tabular en paralelo.

Abiertos y gratis.

• Bradley, Hax y Magnanti, Applied Mathematical Programming (Addison-Wesley, 1977), en inglés, que el MIT publica gratis. El capítulo 2, Solving Linear Programs, desarrolla la forma canónica, el pivoteo y la prueba de la razón. https://web.mit.edu/15.053/www/AMP.htm

Con el tutor. La carpeta tutor/ trae el contexto de este ramo. Pégalo al inicio de la conversación con cualquier IA y pídele, por ejemplo: «Dame un modelo de tres variables para resolver con simplex en tabla y corrígeme tabla por tabla: variable que entra, razón mínima y pivote».