Unidad 2 · Tasas de interés

Qué vas a poder hacer. Leer una tasa con su apellido completo (período, nominal o efectiva, en pesos o en UF); pasar de una tasa nominal a la efectiva con cualquier frecuencia de capitalización, incluida la continua; convertir una tasa de un período a otro sin dividir ni multiplicar; separar la inflación con la ecuación de Fisher; explicar qué es la UF y por qué una tasa «UF + x %» es real, y explicar qué es la tasa máxima convencional y qué efecto tiene un techo a la tasa.

Lo que necesitas antes. La unidad 1: valor futuro y presente de un monto único, y despejar la tasa con raíz enésima.

Tiempo. Unas 4 horas: 1,5 de lectura con el ejemplo y 2,5 de práctica.

1. Una tasa siempre tiene apellido

«Un 9 %» no dice nada. Para usar una tasa hay que saber tres cosas:

1. De qué período es. Mensual, trimestral, anual.
2. Si es nominal o efectiva. Si ya incluye la capitalización o no.
3. En qué unidad está. En pesos (incluye la inflación) o en UF (no la incluye).

Tasa nominal anual (\(j\)) con capitalización \(m\) veces al año: es una forma de escribir la tasa, no de pagarla. La tasa que de verdad se aplica en cada subperíodo es \(j/m\). «12 % anual capitalizable mensualmente» significa 1 % cada mes.

Tasa efectiva de un período: lo que de verdad crece un peso en ese período, con toda la capitalización adentro. La tasa efectiva anual (TEA) es

\[TEA = \left(1 + \frac{j}{m}\right)^m - 1\]

Regla corta. La nominal se divide (para sacar la tasa del subperíodo). La efectiva se convierte con potencia o raíz. Confundirlas es el error de arrastre que arruina un ejercicio completo.

Los dos «nominal». La palabra se usa para dos cosas distintas y conviene no mezclarlas:

2. Frecuencia de capitalización

Mientras más seguido se capitaliza, más intereses ganan los intereses. Con una tasa nominal de 9 %:

La TEA sube con \(m\), pero cada vez menos: tiene un techo. Ese techo es la capitalización continua:

\[\lim_{m\to\infty}\left(1 + \frac{j}{m}\right)^m = e^{j} \qquad\Rightarrow\qquad TEA = e^{j} - 1\]

Con capitalización continua, el valor futuro de un monto a \(t\) años (con \(t\) que puede ser fracción) es

\[VF = VP\,e^{j\,t}\]

y la tasa continua que equivale a una efectiva anual dada es \(j = \ln(1 + TEA)\).

Dónde se usa. En modelos de valoración (opciones, bonos en tiempo continuo) y en evaluación económica. En un crédito de consumo no la vas a ver, pero sirve de cota: ninguna frecuencia de capitalización hace que una tasa nominal de 9 % rinda más de 9,417 % al año.

3. Tasas equivalentes entre períodos

Dos tasas son equivalentes si hacen crecer un peso exactamente lo mismo en el mismo tiempo. Si un período largo contiene \(k\) períodos cortos:

\[(1 + i_{\text{largo}}) = (1 + i_{\text{corto}})^{k} \qquad\Rightarrow\qquad i_{\text{corto}} = (1 + i_{\text{largo}})^{1/k} - 1\]

• De corto a largo (de mes a año): se eleva a \(k\).
• De largo a corto (de año a mes): se saca raíz \(k\).
• Nunca se divide ni se multiplica una tasa efectiva por el número de períodos.

La pregunta para encontrar \(k\) es siempre «¿cuántos períodos cortos caben en el largo?». De año a trimestre, \(k = 4\) (no 3, que son los meses del trimestre).

Con una TEA de 9 %:

Por qué dividir sobreestima. \(9\ \%/12 = 0{,}75\ \%\) mensual. Capitalizado 12 meses da 9,381 %, más que el 9 % de partida: la división olvida que los intereses de cada mes también ganan intereses. (Fíjate que 0,75 % mensual es justo la tasa del subperíodo de un 9 % nominal capitalizable mensualmente: dividir convierte, sin querer, una efectiva en una nominal.)

Cuando el enunciado dice «7 % anual» a secas. Hay dos lecturas posibles: efectiva (se saca raíz) o nominal (se divide). Escribe en una línea qué supones. Un supuesto declarado no se castiga; uno escondido se lee como error.

Adelanto: el CAE. En los créditos de consumo e hipotecarios, la ley obliga a informar el costo anual equivalente, que suma a la tasa los gastos y seguros del crédito. Se calcula en la unidad 4.

4. Tasa real e inflación

La tasa en pesos (nominal) mezcla dos cosas: lo que crece tu poder de compra y lo que suben los precios. La ecuación de Fisher las separa. Con \(n\) la tasa nominal, \(r\) la real y \(\pi\) la inflación, todas del mismo período:

\[(1 + n) = (1 + r)(1 + \pi) \qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{1 + n}{1 + \pi} - 1\]

La inflación no se resta, se descuenta: también es compuesta. La aproximación \(r \approx n - \pi\) sirve para cuentas rápidas, pero se aleja cuando la inflación es alta:

La diferencia es \(r \cdot \pi\), que con inflaciones de un dígito es chica y con inflaciones altas no.

Dos reglas que se preguntan siempre.

• Flujo nominal con tasa nominal; flujo real con tasa real. Cruzarlas es un error clásico.
• La inflación que importa al decidir es la esperada. Al firmar un depósito a tasa fija en pesos, la tasa real que vas a obtener depende de la inflación que efectivamente ocurra. Si la inflación resulta mayor que la esperada, el ahorrante pierde poder de compra y el deudor gana.

5. La UF, una unidad que se reajusta sola

La Unidad de Fomento (UF) es una unidad de cuenta chilena que existe desde 1967. No es una moneda: nadie paga con billetes de UF. Es una regla para convertir: su valor en pesos lo publica el Banco Central y cambia todos los días. Entre el día 10 de un mes y el día 9 del siguiente, la UF avanza de a poco hasta acumular la variación del IPC (el índice de precios) del mes anterior.

Qué consigue. Un monto en UF mantiene su poder de compra: si los precios suben 4 %, la UF sube aproximadamente 4 %. Por eso:

• Una tasa «UF + 2 %» es una tasa real: 2 % por sobre la inflación.
• Un dividendo hipotecario de 20 UF es constante en UF y sube en pesos con la inflación. El esfuerzo real del deudor no cambia, pero el monto en pesos sí.
• Un crédito largo (20 o 30 años) se pacta en UF porque a ese plazo nadie quiere asumir el riesgo de la inflación en pesos fijos.

Ejemplo con una UF ficticia. Supón que hoy 1 UF = $30.000 y que la inflación del año será 4 %. Depositas 500 UF ($15.000.000) a un año a UF + 2 %.

• Al final del año recibes \(500 \times 1{,}02 = 510\) UF.
• La UF sube a \({30{.}000} \times 1{,}04 = 31{.}200\) pesos.
• Recibes \(510 \times 31{.}200 = 15{.}912{.}000\) pesos.

La tasa en pesos fue \(1{,}02 \times 1{,}04 - 1 = 6{,}08\ \%\): Fisher en acción. El 2 % real estaba asegurado; el 6,08 % nominal dependía de la inflación.

Quién carga el riesgo de inflación. En un crédito en pesos a tasa fija, lo carga el banco: si la inflación sube, le devuelven pesos que valen menos. En un crédito en UF lo carga el deudor: su deuda en pesos sube con la inflación, aunque su sueldo quizás no.

6. Tasa máxima convencional y usura

La regla. En Chile, la Ley 18.010 regula las operaciones de crédito de dinero. Define el interés corriente: el promedio que se cobra en un tipo de operación, que calcula y publica la Comisión para el Mercado Financiero (CMF). Sobre él fija un techo, la tasa máxima convencional (TMC): no se puede pactar un interés mayor. La regla general pone el techo un 50 % por sobre el interés corriente; para los créditos de montos pequeños la ley usa otra fórmula. Si un contrato pacta más que el máximo, ese pacto se tiene por no escrito y el interés baja al corriente. Cobrar intereses abusivos (la usura) es, además, un delito que sanciona el Código Penal.

El efecto económico. El techo protege a quien igual consigue el crédito: paga menos. Pero la tasa es el precio del riesgo del deudor. Si para un deudor riesgoso la tasa que compensa su riesgo queda por encima del techo, el prestamista no baja la tasa: no le presta. Ese racionamiento deja fuera del crédito formal a los más riesgosos, que terminan en el mercado informal, sin protección y a tasas más altas. Un techo intercambia precio por acceso.

Al comparar contra el techo, mira el apellido: la tasa de la oferta y la del techo tienen que estar en el mismo período y de la misma forma (ejercicio 2.5). Las cifras vigentes se consultan en la CMF el día que se necesitan; este ramo no las memoriza.

7. Adelanto: la estructura de tasas

La tasa no es una sola: depende del plazo. Un depósito a un año y uno a tres años, del mismo banco, pagan tasas anuales distintas. La relación entre plazo y tasa es la estructura de tasas (o curva de rendimiento). De ella salen:

• Las tasas spot: la tasa anual de hoy para un plazo dado.
• Las tasas forward (implícitas): la tasa que la curva de hoy «promete» para un período futuro. Si a un año pagan \(s_1\) y a dos años \(s_2\) (anual), la tasa implícita del segundo año es \(\frac{(1+s_2)^2}{1+s_1} - 1\).

La curva sube, baja o se dobla según lo que el mercado espera de las tasas y de la inflación, y según el premio que exige por prestar a más plazo. Se desarrolla en la unidad 6; el ejercicio 2.10 la asoma.

8. Ejemplo resuelto · elegir el crédito para el viaje

Fernanda quiere pagar un viaje de $2.400.000 con un crédito de consumo que paga de una sola vez a los 9 meses (las cuotas son la unidad 3). Tiene tres ofertas:

• Banco X: 1,45 % mensual.
• Banco Y: 18,2 % anual, nominal, capitalizable mensualmente.
• Caja Z: 19,1 % efectiva anual.

A primera vista Y es la más barata (18,2 es el número más chico). ¿Lo es?

Paso 1 · Poner las tres en la misma moneda: TEA.

• X es efectiva mensual: se eleva. \(TEA_X = (1{,}0145)^{12} - 1 = 18{,}86\ \%\).
• Y es nominal: primero se divide, después se eleva. \(0{,}182/12 = 1{,}5167\ \%\) mensual y \(TEA_Y = (1{,}015167)^{12} - 1 = 19{,}80\ \%\).
• Z ya es efectiva anual: 19,1 %.

Paso 2 · Comprobar en mensual. Para Z se saca raíz: \((1{,}191)^{1/12} - 1 = 1{,}4673\ \%\) mensual.

El orden es el mismo en mensual y en anual, como tiene que ser.

Paso 3 · Pasarlo a pesos. Se paga \({2{.}400{.}000} \times (1 + i_{mensual})^9\):

Elegir Y por «tener la tasa más baja» le habría costado $16.200 más que X.

Paso 4 · El costo real. Si la inflación esperada es 3,8 % anual, el costo real de X es

\[r = \frac{1{,}1886}{1{,}038} - 1 = 14{,}51\ \%\]

Restando se obtendría \(18{,}86 - 3{,}8 = 15{,}06\ \%\): la resta exagera el costo real en más de medio punto.

Cómo se lee.

• Y escribe su tasa como nominal: el 18,2 % no incluye la capitalización mensual. Por eso el número publicado es el más bajo y la oferta es la más cara.
• Las ofertas solo se comparan en la misma forma (todas efectivas) y el mismo período.
• En términos reales el viaje le cuesta a Fernanda 14,51 % al año: ese es el sacrificio de poder de compra por adelantar el viaje.

9. Errores típicos

10. Práctica

Diez ejercicios: 2.1 a 2.4 básicos, 2.5 a 2.8 intermedios, 2.9 y 2.10 de desafío. Dos son comentes (2.4 y 2.9): se responde Verdadero, Falso o Incierto con un argumento; la palabra sola no vale. Las pautas están en la sección 11.

2.1 · Una tasa, cuatro frecuencias (básico). Una tasa nominal anual de 10,8 %. Calcula la TEA si se capitaliza trimestral, mensual y diariamente (365 días), y con capitalización continua. ¿Qué pasa con las diferencias a medida que \(m\) crece?

2.2 · Convertir sin dividir (básico). (a) Un depósito tiene una TEA de 7,4 %. Calcula su tasa mensual, trimestral y semestral equivalente. ¿Cuánto da si divides por 12, y en qué sentido se equivoca? (b) Una tarjeta cobra 1,2 % mensual. ¿Cuál es su TEA? Compárala con multiplicar por 12.

2.3 · Lo que ganaste de verdad (básico). Un depósito a un año rindió 5,9 % y la inflación de ese año fue 4,3 %. Calcula la rentabilidad real exacta y la aproximada. ¿Cuánto se equivoca la aproximación?

2.4 · Comente (básico). «Entre dos créditos, el que publica la tasa anual más baja es siempre el más barato.» Para tu argumento, usa este par: un crédito A a 14,9 % nominal anual capitalizable mensualmente y un crédito B a 15,8 % efectivo anual.

2.5 · La tienda y el techo (intermedio). Una tienda cobra 2,85 % mensual en su crédito. Supón (cifra ficticia) que el techo legal para ese tipo de crédito es 38 % anual expresado como tasa efectiva. (a) ¿La tienda supera el techo? (b) ¿Cuál es la tasa mensual máxima que podría cobrar? (c) Si el mismo 38 % fuera una tasa nominal anual capitalizable mensualmente, ¿cambia la respuesta?

2.6 · Depósito en pesos o en UF (intermedio). Un banco ofrece un depósito a un año en pesos a 6,45 % o en UF a UF + 2,35 %. La inflación esperada es 3,55 %. (a) ¿Cuál rinde más en lo esperado? (b) ¿Con qué inflación quedan empatados? (c) Si la inflación resulta 5 %, ¿cuánto rindió cada uno en términos reales? (d) ¿Qué estás comprando al elegir la UF?

2.7 · Capitalización continua (intermedio). Un fondo paga 5,7 % anual con capitalización continua y otro paga 5,85 % efectivo anual. (a) ¿Cuál paga más? (b) ¿Qué tasa continua equivale al 5,85 % efectivo? (c) ¿Cuánto tendrías en cada uno al cabo de 2,5 años si inviertes $2.750.000?

2.8 · «Paga 4,4 % anual» (intermedio). Un depósito a 6 meses de $8.000.000 «paga 4,4 % anual». (a) Calcula lo que recibes si el 4,4 % es nominal (se divide) y si es efectivo (se saca raíz). (b) ¿Cuánto es la diferencia en pesos? (c) Si la lectura nominal fuera la correcta y renovaras el depósito por otros 6 meses a la misma tasa, ¿cuál sería la TEA?

2.9 · Comente (desafío). «Un crédito hipotecario a UF + 3,9 % es más barato que uno en pesos a 7,3 % anual fijo, porque 3,9 es menor que 7,3.»

2.10 · Ahorro en tres tramos y una tasa implícita (desafío). (a) Depositas $4.100.000 durante 24 meses: los primeros 8 meses al 0,5 % mensual, los 10 siguientes a 6,9 % efectivo anual y los últimos 6 a 6,3 % nominal anual capitalizable mensualmente. Calcula el saldo al final de cada tramo, la tasa mensual equivalente de los 24 meses y su TEA. Con una inflación de 3,5 % anual, ¿cuál fue la rentabilidad real anual y cuánto vale el saldo final en pesos de hoy? (b) Otro banco paga 5,6 % anual por un depósito a un año y 6,0 % anual por uno a dos años. ¿Qué tasa implícita está pagando por el segundo año?

11. Pautas

2.1.

Las diferencias se achican: de trimestral a mensual se ganan 0,11 puntos; de diaria a continua, 0,002. La continua es el techo.

2.2. (a) Mensual: \(1{,}074^{1/12} - 1 = 0{,}5967\ \%\). Trimestral: 1,8008 %. Semestral: 3,6340 %. Dividiendo, \(7{,}4/12 = 0{,}6167\ \%\): sobreestima la tasa mensual, porque ignora que los intereses de cada mes también ganan intereses. (b) \(TEA = 1{,}012^{12} - 1 = 15{,}389\ \%\). Multiplicar da 14,4 %: subestima casi un punto. Es el mismo error al revés.

2.3. Exacta: \(1{,}059/1{,}043 - 1 = 1{,}534\ \%\). Aproximada: \(5{,}9 - 4{,}3 = 1{,}6\ \%\). La resta exagera en 0,066 puntos. Lectura: de un 5,9 % que «se veía», el poder de compra creció 1,5 %. La mayor parte del rendimiento solo compensó la inflación.

2.4. Falso. La tasa publicada puede ser nominal o efectiva, y solo las efectivas del mismo período se pueden comparar. A publica 14,9 %, pero es nominal: cobra \(14{,}9/12 = 1{,}2417\ \%\) mensual y su TEA es 15,96 %. B publica 15,8 %, que ya es efectiva: equivale a 1,2300 % mensual. B es más barato aunque su número sea más alto. Además, aun con las dos tasas en TEA, el costo total de un crédito incluye gastos y seguros que la tasa no muestra; por eso la ley exige informar el CAE. La regla correcta es comparar la tasa efectiva del mismo período o, mejor, el costo total equivalente.

2.5. (a) \(TEA = 1{,}0285^{12} - 1 = 40{,}10\ \%\), mayor que 38 %: supera el techo, aunque multiplicar 2,85 × 12 = 34,2 % parezca dejarla bajo él. (b) \(1{,}38^{1/12} - 1 = 2{,}720\ \%\) mensual. (c) Sí cambia. Si el techo fuera nominal, la tasa mensual máxima sería \(38/12 = 3{,}167\ \%\) (que equivale a una TEA de 45,37 %), y 2,85 % mensual quedaría dentro. La misma cifra de techo permite tasas muy distintas según cómo se exprese: por eso siempre se lee el apellido de la tasa antes de comparar.

2.6. (a) El de UF rinde en pesos \(1{,}0235 \times 1{,}0355 - 1 = 5{,}983\ \%\) esperado, menos que el 6,45 % del de pesos. En reales, el de pesos da \(1{,}0645/1{,}0355 - 1 = 2{,}801\ \%\) contra el 2,35 % del de UF. En lo esperado gana el de pesos. (b) Empatan con una inflación de \(1{,}0645/1{,}0235 - 1 = 4{,}006\ \%\). (c) Con 5 %: el de pesos rinde solo 1,381 % real; el de UF sigue en 2,35 % real (7,468 % en pesos). (d) Con la UF compras un seguro contra la inflación: renuncias a algo de rendimiento esperado a cambio de asegurar el rendimiento real. Elegir el de pesos es apostar a que la inflación quedará bajo 4,006 %.

2.7. (a) \(e^{0{,}057} - 1 = 5{,}866\ \%\) efectivo, más que 5,85 %: paga más el de capitalización continua, aunque su número sea menor. (b) \(\ln 1{,}0585 = 5{,}685\ \%\) continuo. (c) Continuo: \({2{.}750{.}000} \times e^{0{,}057 \times 2{,}5} = 3{.}171{.}171\). Efectivo: \({2{.}750{.}000} \times 1{,}0585^{2{,}5} = 3{.}170{.}004\). Diferencia: $1.167 a favor del continuo. Es poco, pero confirma que el número publicado solo se compara una vez convertido.

2.8. (a) Nominal: 2,2 % en el semestre, recibes $8.176.000. Efectivo: \(1{,}044^{1/2} - 1 = 2{,}1763\ \%\), recibes $8.174.105. (b) $1.895 de diferencia en un semestre. (c) Con la lectura nominal, dos semestres al 2,2 % dan una TEA de \(1{,}022^2 - 1 = 4{,}4484\ \%\). Lectura: el enunciado ambiguo cuesta plata real. En un certamen se escribe el supuesto; en un contrato se pregunta.

2.9. Incierto (depende de la inflación). La comparación es inválida: 3,9 % es una tasa real (por sobre la UF) y 7,3 % es nominal (en pesos). Para compararlas hay que pasar por Fisher. El punto de empate es la inflación que las iguala: \(1{,}073/1{,}039 - 1 = 3{,}272\ \%\) anual. Si la inflación promedio del crédito queda bajo 3,272 %, el de UF es más barato (con 3 %, el de UF cuesta 7,017 % en pesos, y el de pesos cuesta 4,175 % real); si queda sobre, el de pesos es más barato (con 5 %, el de UF cuesta 9,095 % en pesos, y el de pesos solo 2,190 % real). Además cambia quién carga el riesgo: en UF lo carga el deudor, cuya deuda en pesos sube con la inflación; en pesos fijo lo carga el banco. Un deudor cuyo sueldo se reajusta con la inflación está más cubierto en UF. La afirmación es falsa como razonamiento y la respuesta correcta depende de la inflación esperada y del riesgo que el deudor quiera asumir.

2.10. (a) Tramo 1: factor \(1{,}005^8 = 1{,}04071\), saldo $4.266.899. Tramo 2: la TEA de 6,9 % equivale a \(1{,}069^{1/12} - 1 = 0{,}5576\ \%\) mensual; factor de 10 meses 1,05718, saldo $4.510.871. Tramo 3: la nominal se divide, \(6{,}3/12 = 0{,}525\ \%\) mensual; factor de 6 meses 1,03192, saldo final $4.654.842. La tasa mensual equivalente es la que da el mismo factor total en 24 meses: \((4{.}654{.}842/4{.}100{.}000)^{1/24} - 1 = 0{,}5302\ \%\) mensual, que equivale a una TEA de 6,552 %. Real: \(1{,}06552/1{,}035 - 1 = 2{,}949\ \%\) anual. En pesos de hoy, el saldo vale \({4{.}654{.}842}/1{,}035^2 = 4{.}345{.}345\). (b) \((1{,}06)^2/1{,}056 - 1 = 6{,}402\ \%\). El banco está pagando por el segundo año más que el 6,0 % que publica: el 6,0 % es un promedio de dos años, y el primero paga solo 5,6 %. Es una tasa forward, la puerta de entrada a la unidad 6.

12. Caso integrador · Valentina, ¿qué banco?

Este caso sigue a Valentina, dueña de Estampa Sur, por todo el ramo. Todo es ficticio, incluidas las tasas. La fuente de las cifras es verificacion/caso_valentina.py.

En la unidad 1, Valentina dejó sus $3.460.000 al 0,55 % mensual por 36 meses. Ese 0,55 % salió de elegir entre dos bancos:

• Banco A: 6,6 % anual nominal, capitalizable mensualmente.
• Banco B: 6,75 % efectivo anual.

La inflación esperada es 3,4 % anual.

Pregunta. ¿Qué banco paga más? ¿Cuánto gana Valentina en términos reales?

Desarrollo.

Lectura.

• Paga más el banco A, aunque publique el número más bajo: el 6,6 % es nominal y, capitalizado cada mes, rinde 6,80 % al año. Por eso la unidad 1 usó 0,55 % mensual.
• La diferencia en tres años es de $6.314. Chica, pero la decisión correcta no depende del tamaño.
• En términos reales Valentina gana 3,29 % al año. Sus $4.215.322 del mes 36 valen $3.813.021 en pesos de hoy: su poder de compra creció $353.021, no los $755.322 que muestra el saldo. El resto solo compensa la inflación.
• Restar la inflación (3,40 %) exagera la ganancia real en una décima.

Lo que pasa a la unidad siguiente. La unidad 3 sigue con el banco A y su tasa mensual de 0,55 %, y calcula cuánto tiene que depositar Valentina cada mes, además de estos $3.460.000, para juntar el pie de su departamento.

13. Para seguir

En los libros del ramo.

• Ross, Westerfield y Jaffe, Finanzas corporativas (9.ª ed., 2012), capítulo 4 (lo fija el programa): la parte de períodos de capitalización, tasa efectiva anual y capitalización continua. La tasa real y la inflación aparecen en el capítulo de tasas de interés y bonos del mismo libro.
• Brealey, Myers y Allen, Principios de finanzas corporativas (9.ª ed., 2010), capítulos 2 y 3 de la lectura que fija el programa: capitalización a distintas frecuencias, tasas nominales y reales.

Abierto y gratis.

• Dahlquist y Knight, Principles of Finance, OpenStax (2022), en inglés, sección 8.4 «Stated versus Effective Rates» (tasa publicada contra tasa efectiva). Licencia CC BY-NC-SA: https://openstax.org/books/principles-finance/pages/8-why-it-matters

Con el tutor. La carpeta tutor/ trae el contexto de este ramo. Pégalo al inicio de la conversación con cualquier IA y pídele, por ejemplo: «Dame tres créditos con tasas escritas de formas distintas y corrígeme cuál es el más barato».